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深度剖析动态规划背包问题算法

时间:2019-03-08 15:33:58   已访问:119次
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动态规划背包问题算法知多少?背包这个算法是用来解决1100:采药这类题的,下面结合事例进行分析。

深度剖析动态规划背包问题算法_www.cnitedu.cn

题目:1100:采药

辰辰是个天资聪颖的孩子,他的梦想是成为世界上最伟大的医师。为此,他想拜附近最有威望的医师为师。医师为了判断他的资质,给他出了一个难题。医师把他带到一个到处都是草药的山洞里对他说:“孩子,这个山洞里有一些不同的草药,采每一株都需要一些时间,每一株也有它自身的价值。我会给你一段时间,在这段时间里,你可以采到一些草药。如果你是一个聪明的孩子,你应该可以让采到的草药的总价值最大。”

如果你是辰辰,你能完成这个任务吗?

解题方法:

输入

输入第一行有两个整数T(1 <= T <= 1000)和M(1 <= M <= 100),用一个空格隔开,T代表总共能够用来采药的时间,M代表山洞里的草药的数目。接下来的M行每行包括两个在1到100之间(包括1和100)的整数,分别表示采摘某株草药的时间和这株草药的价值。

输出

输出一行,这一行只包含一个整数,表示在规定的时间内,可以采到的草药的最大总价值。

算 法

如果这道题直接暴力枚举每一种情况,n种药就有2^n种情况,时间复杂度会达到可怕的O(2^n),对于这道题而言,1sec不够进行这么多次运算,我试过这样做会超时。所以应该尝试其他算法。而动态规划这种方法把时间复杂度降到了O(n*T)。n是药品数,T是总时间。

首先开辟一个二维数组dp[n][T],dp[i][t]是指前i种药在时间t内的最大价值(0<=i<=n,0<=t<=T)和两个一维数组,一个是val[n],每种药品的价值,另一个是time[n]采每种药品的时间。

然后对dp进行初始化,当i=0时,无论t是多少,dp都是0,为什么呢?i=0的意思是前0件药品,也就是没有药品,无论有多少时间,价值都是0。

其次就是计算dp数组的其他元素了。分为两种情况:

1、不采第i件药品,那么这就变成在时间t内,前i-1件药品的最大价值,也就是dp[i][t]=dp[i-1][t],其中0<=t<=T。

2、采第i件药品,那么这就变成前i-1件药品在时间t-time[i]内所能获得的最大价值,也就是dp[i-1][t-time[i]]+val[i],当然time[i]不能大于t。

由这两种情况可以得出dp[i][t]=max{dp[i-1][t],dp[i-1][t-time[i]]+val[i]},也就是两种情况的最大值。

(1<=i<=n,time[i]<=t<=T)

然后根据dp[0][t]来推dp[1][t],dp[2][t]……最终的答案就是dp[n][T]。

代码优化:

细心的你是否发现计算第i行数据时只用第i-1行数据,前面的i-2行数据都没用,那么二维数组就可以简化为一维数组了。

那么公式就可以写成

dp[t]=max{dp[t],dp[t-time[i]]+val[i]}

(1<=i<=n,time[i]<=t<=T)

特别要注意的是计算dp[t]的时候,t要从T递减到0,不能弄反了,反了就是另一个问题的算法。

这样一简化时间复杂度没有变化,空间复杂度从O(n*T)变成了O(T)。

#include

#include

using namespace std;

int main(){

int dp[1000];

int T,num;//总时间,总药数

int time[100];//采药时间

int val[100];//药价

scanf("%d%d",&T,&num);

fill(dp,dp+T+1,0);

for(int i=1;i<=num;i++)

scanf("%d%d",&time[i],&val[i]);

for(int i=1;i<=num;i++)

for(int t=T;t>=0;t--)

if(time[i]<=t)

dp[t]=max(dp[t],dp[t-time[i]]+val[i]);

printf("%d\n",dp[T]);

return 0;

}


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